【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交軸,軸于,兩點(diǎn).點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn).

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)如圖1,是線段上一點(diǎn),連接,若的值最小,求點(diǎn)坐標(biāo);

3)如圖2,在(2)的前提下,直線與直線的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn),若是拋物線上一點(diǎn),軸上一點(diǎn),是否存在以,,為頂點(diǎn)且為邊的平行四邊形,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1;(2D點(diǎn)坐標(biāo)為(0);(3)存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)(,)()

【解析】

1)先求得點(diǎn)A的坐標(biāo),再將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式即可求解;

2)過(guò)點(diǎn)DDGABG,利用∠OBA的正弦值求得DG=BD,則CD、G三點(diǎn)共線時(shí),CD+BD的值最小,即可求得D點(diǎn)坐標(biāo);

3)先求得Q點(diǎn)坐標(biāo),分CQ為對(duì)角線、CM為對(duì)角線、CN為對(duì)角線三種情況討論即可求解.

1)令,則,

解得:,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)

∵拋物線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),

∴將A(4,0)、C(-1,0)的坐標(biāo)代入得:

,

解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為:

2)令,則

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),

OA=4OB=3,

,

過(guò)點(diǎn)DDGABG,如圖:

,

DG=BD

當(dāng)C、D、G三點(diǎn)共線時(shí),CD+BD的值最小,

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-10),

OC=1,

,

,

,

,即,

,

D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,);

3)設(shè)直線CD的解析式為:,

將點(diǎn)C(-1,0)的坐標(biāo)代入得:

解得:,

∴直線CD的解析式為:,

解方程組得:,

P點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

PQy軸,

當(dāng)時(shí),,

Q點(diǎn)坐標(biāo)為();

當(dāng)CQ為對(duì)角線時(shí),CQ中點(diǎn)與M、N中點(diǎn)相同,

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

,

解得:,

當(dāng)時(shí),

M點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí),C、M中點(diǎn)與QN中點(diǎn)相同,

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

,

解得:

當(dāng)時(shí),,

M點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

當(dāng)CN為對(duì)角線時(shí),C、N中點(diǎn)與M、Q中點(diǎn)相同,

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

解得:,

當(dāng)時(shí),,

M點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

綜上可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)(,)()

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1)將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB′,請(qǐng)?jiān)趫D③網(wǎng)格中畫(huà)出線段AB;

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