Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE不可能為正方形；
③四邊形CDFE的面積保持不變；
④△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解；連接CF．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正確；
當(dāng)D、E分別為AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF是正方形，②錯(cuò)誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF ，
∴四邊形CDFE的面積=S△ACF= S△ACB ，
∴四邊形CDFE的面積保持不變，③正確；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，
即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF= AC=4，
∴DE= DF=4 ，
當(dāng)△CDE面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最小，
∴S△CDE=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，④正確，
故選：C．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°)，還要掌握正方形的判定方法(先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．