Question

如圖，E為矩形ABCD邊BC上自B向C移動的一個動點，EF⊥AE交CD邊于F，聯(lián)結(jié)AF，當△ABE的面積恰好為△ECF和△FDA的面積之和時，量得AE=2，EF=1，那么矩形ABCD的面積為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)CF=x，CE=y，證△BAE∽△CEF，求出AB=2y，BE=2x，推出CD=AB=2y，AD=BC=2x+y，DF=2y-x，根據(jù)已知面積求出x、y的值，求出AB、BC，即可求出面積．

解答：解：設(shè)CF=x，CE=y，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△BAE∽△CEF，
∴

AB

CE

=

BE

CF

=

AE

EF

=

2

1

，
∴AB=2y，BE=2x，
∴CD=AB=2y，AD=BC=2x+y，DF=2y-x，
∵△ABE的面積恰好為△ECF和△FDA的面積之和，
∴

1

2

•2y•2x=

1

2

（2x+y）（2y-x）+

1

2

xy，
∴x=y，
在Rt△FCE中，EF=1，由勾股定理得：x²+x²=1，
解得：x=

2

2

，
即AB=2y=

2

，BC=2x+y=2×

2

2

+

2

2

=

3 2

2

，
∴矩形ABCD的面積是

2

×

3 2

2

=3，
故答案為：3．

點評：本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AB、BC的值，題目比較好，難度適中．