【題目】如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,PBC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含B、C點(diǎn)).將ABP沿直線AP翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處;在CD上有一點(diǎn)M,使得將CMP沿直線MP翻折后,點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處,直線PECD于點(diǎn)N,連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確的有_____________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

①∠N\AF=45°;②當(dāng)P BC中點(diǎn)時(shí),AE為線段NP的中垂線;

③四邊形AMCB的面積最大值為10; ④線段AM的最小值為2;

⑤當(dāng)ABP≌△ADN時(shí),BP=4-4.

【答案】①③⑤

【解析】①正確,只要證明∠APM=90°即可解決問題;正確,設(shè)PB=x,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可;②錯(cuò)誤,設(shè)ND=NE=y,在RT△PCN利用勾股定理求出y即可解決問題;④錯(cuò)誤,作MG⊥ABG,因?yàn)?/span>AM2=MG2+AG2=16+AG2,所以AG最小時(shí)AM最小,構(gòu)建二次函數(shù),求得AG的最小值為3,AM的最小值為5;⑤正確,在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK,設(shè)PB=z,列出方程即可解決問題.

∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,∵∠CPN+∠NPB=180°,

∴2∠NPM+2∠APE=180°,∴∠MPN+∠APE=90°,∴∠APM=90°,

∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPM=∠PAB,

∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°,

∴△CMP∽△BPA.故①正確,

設(shè)PB=x,則CP=4-x,∵△CMP∽△BPA,∴,∴CM=x(4-x),

∴S四邊形AMCB= [4+x(4-x)]×4=-(x-2)2+10,

∴x=2時(shí),四邊形AMCB面積最大值為10,故③正確,

當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí),設(shè)ND=NE=y, RT△PCN中,(y+2)2=(4-y)2+22,

解得y=,∴NE≠EP,故②錯(cuò)誤,

MG⊥ABG,∵AM2=MG2+AG2=16+AG2,∴AG最小時(shí)AM最小,

∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x(4-x)=(x-1)2+3,

∴x=1時(shí),AG最小值=3,∴AM的最小值==5,故④錯(cuò)誤.

∵△ABP≌△ADN時(shí),∴∠PAB=∠DAN=22.5°,在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK,設(shè)PB=z,

∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,∴∠BPK=∠BKP=45°,

∴PB=BK=z,AK=PK=z, ∴z+z=4,∴z=4-4,∴PB=4-4,故⑤正確.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】今年假期某校對(duì)操場(chǎng)進(jìn)行了維修改造,如圖是操場(chǎng)的一角.在長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地中間,并排著兩個(gè)大小相同的籃球場(chǎng),這兩個(gè)籃球場(chǎng)之間以及籃球場(chǎng)與長(zhǎng)方形場(chǎng)地邊沿的距離都為.

(1)直接寫出一個(gè)籃球場(chǎng)的長(zhǎng)和寬;(用含字母,,的代數(shù)式表示)

(2)用含字母,的代數(shù)式表示這兩個(gè)籃球場(chǎng)占地面積的和,并求出當(dāng),,時(shí),這兩個(gè)籃球場(chǎng)占地面積的和.

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【題目】如圖所示,OB是∠AOC的平分線,OD是∠COE的平分線.

(1)若∠AOB=50°,DOE=35°,求∠BOD的度數(shù);

(2)若∠AOE=160°,COD=40°,求∠AOB的度數(shù).

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【題目】將圖1,將一張直角三角形紙片ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,這時(shí)DE為折痕,CBE為等腰三角形;再繼續(xù)將紙片沿CBE的對(duì)稱軸EF折疊,這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形(其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形,另一個(gè)是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形),我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”.

(1)如圖2,正方形網(wǎng)格中的ABC能折疊成“疊加矩形”嗎?如果能,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出折痕;

(2)如圖3,在正方形網(wǎng)格中,以給定的BC為一邊,畫出一個(gè)斜三角形ABC,使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上,且ABC折成的“疊加矩形”為正方形;

(3)如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形,那么它必須滿足的條件是   ;

(4)如果一個(gè)四邊形一定能折成“疊加矩形”,那么它必須滿足的條件是   

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【題目】一組正方形按如圖所示的方式放置,其中頂點(diǎn)B1y軸上,頂點(diǎn)C1、E1、E2、C2E3、E4、C3x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1,B1C1O=60°,B1C1B2C2B3C3則正方形A2017B2017C2017D2017的邊長(zhǎng)是(  )

A. 2016 B. 2017 C. 2016 D. 2017

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【題目】如圖,階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù),從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著﹣5,﹣2,1,9,且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等.

嘗試 (1)求前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和是多少?

(2)求第5個(gè)臺(tái)階上的數(shù)x是多少?

應(yīng)用 求從下到上前31個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和.

發(fā)現(xiàn) 試用含k(k為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“1”所在的臺(tái)階數(shù).

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【題目】如圖,已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、.

1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo);

2)將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,畫出,直接寫出點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的點(diǎn)、坐標(biāo);

3)請(qǐng)直接寫出:以、、為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,IRt△ABC的內(nèi)心,連接CI,AI,△CIA外接圓的半徑為()

A. B. C. D.

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