Question

10．如圖，MN是⊙O的切線，點A為切點，點P是射線AM上的任意一點．點B是⊙O上的一點，連接PB交⊙O于點C．
（1）若∠BAN=45°，∠BPA=30°，求∠AOC的度數(shù)．
（2）若∠BAN=n°（n＜45），∠BPA=m°，試探究∠BOC與n、m之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可以得到∠AOC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可以用含m、n的代數(shù)式表示出∠BOC，本題得以解決．

解答 解：（1）∵∠BAN=45°，∠BPA=30°，∠BAN=∠BPA+∠ABC，
∴∠ABC=15°，
∴∠AOC=2∠ABC=30°，
即∠AOC的度數(shù)是30°；
（2）∵∠BAN=n°（n＜45），∠BPA=m°，∠BAN=∠BPA+∠ABC，
∴∠ABC=n°-m°，
∴∠AOC=2（n°-m°），
∵∠BAN=n°，∠AOB=2∠BAN，
∴∠AOB=2n°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=2n°+2（n°-m°）=4n°-2m°，
即∠BOC與n、m之間的關(guān)系是∠BOC=4n°-2m°．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，同弧所對的圓心角和圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．