Question

19．如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點(diǎn)A正好落在BC上的E處，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn)．
（1）求AD的長．
（2）求此拋物線的解析式．
（3）若點(diǎn)P是此拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的點(diǎn)，以點(diǎn)P、Q、O、D為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出P、Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)，得到A（10，0），C（0，8），再由折疊可知：AD=ED，OA=OE=10，最后用勾股定理計(jì)算即可；                 
（2）由拋物線y=ax²+bx+c與x軸兩交點(diǎn)是O（0，0）、A（10，0）用交點(diǎn)式設(shè)解析式，用待定系數(shù)法即可；
（3）以點(diǎn)P、Q、O、D為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，分兩種情況討論：①若OD是平行四邊形的對(duì)角線，判斷出點(diǎn)P一定是拋物線的頂點(diǎn)
②OD是平行四邊形的一條邊．利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，8），
由矩形的性質(zhì)，得A（10，0），C（0，8）
由折疊可知：AD=ED，OA=OE=10                  
在Rt△OCE中，CE²=OE²-OC²=10²-8²=36
∴CE=6
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8）
設(shè)AD的長是m，則ED=m
在Rt△BED中，ED²=BE²+BD²
∴m²=（10-6）²+（8-m）²
解得：m=5，即AD的長是5．
（2）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸兩交點(diǎn)是O（0，0）、A（10，0）
∴可設(shè)拋物線的解析式是y=ax（x-10）
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)E（6，8）
∴8=a×6×（6-10），
∴a=-$\frac{1}{3}$，
拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x，
（3）能成為平行四邊形．
①若OD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)：
由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過OD的中點(diǎn)，
∴當(dāng)平行四邊形OPDQ的頂點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)Q也在拋物線的對(duì)稱軸上，又點(diǎn)Q在拋物線上，故點(diǎn)P一定是拋物線的頂點(diǎn)．
∴Q （5，$\frac{25}{3}$）
又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，
所以，線段PQ必被OD的中點(diǎn)（5，$\frac{5}{2}$）平分
∴P（5，-$\frac{10}{3}$），
此時(shí)P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）
②若OD是平行四邊形的一條邊時(shí)：
在平行四邊形ODPQ中，OD∥PQ且OD=PQ
設(shè)P（5，m），則Q（5-10，m-5）
將Q（5-10，m-5）代入拋物線解析式中，
解得m=-20
∴P（5，-20），Q（-5，-25）
在平行四邊形ODQP中，OD∥PQ且OD=PQ
設(shè)P（5，m），則Q（10+5，5+m）
將（10+5，5+m）代入拋物線解析式中，
解得m=-30
∴P（5，-30），Q（15，-25），
綜上：符合條件的點(diǎn)P、Q有3對(duì)，即
P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）；P（5，-20），Q（-5，-25）； P（5，-30），Q（15，-25）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，分OD為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種是解本題的難點(diǎn)．