Question

已知關(guān)于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）試說(shuō)明x₁＜0，x₂＜0；
（3）若拋物線y=x²-（2k-3）x+k²+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OA•OB-3，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式大于0，據(jù)此即可列不等式求得k的范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，說(shuō)明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；
（3）不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．利用x₁，x₂表示出OA、OB的長(zhǎng)，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及OA+OB=2OA•OB-3即可列方程求解．

解答：解：（1）由題意可知：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，
即-12k+5＞0                 
∴k＜

5

12

．                             

（2）∵

x1+x2=2k-3＜0 x1x2=k2+1＞0

，
∴x₁＜0，x₂＜0．                        

（3）依題意，不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-（x₁+x₂）=-（2k-3），
OA•OB=|-x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，
∵OA+OB=2OA•OB-3，
∴-（2k-3）=2（k²+1）-3，
解得k₁=1，k₂=-2．                   
∵k＜

5

12

，
∴k=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是另y=0，得到的方程的兩根，則滿足一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．