Question

已知：如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，過點(diǎn)C作BC的垂線l，把一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)放到點(diǎn)A處（三角板和△ABC在同一平面內(nèi)），繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)三角板，使三角板的直角邊AM與直線BC交于點(diǎn)D，另一條直角邊AN與直線l交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，若AC=

2

，求四邊形ADCE的面積；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螮DC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出四邊形ADCE的面積=△ABC的面積；
（2）分以下兩類討論：①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上或在線段CB的延長線上時(shí)，∠EDC=∠BAD，如圖1、圖2所示．根據(jù)△ABD≌△ACE就可以得出△ADE是的等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖4，根據(jù)△ABD≌△ACE就可以得出△ADE是的等腰直角三角形，由三角形的內(nèi)角和關(guān)系就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵BC⊥l，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACE=∠B．
∵∠DAE=90°，
∴∠2+∠CAD=90°．
∵∠1+∠CAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CAE中，

∠B=∠ACE AB=AC ∠1=∠2

，
∴△BAD≌△CAE（ASA）．
∴S_△BAD=S_△CAE．
∵S_{四邊形ADCE}=S_△CAE+S_△ADC，
∴S_{四邊形ADCE}=S_△BAD+S_△ADC=S_△ABC．
∵AC=

2

，
∴AB=

2

，
∴S_△ABC=1，
∴S_{四邊形ADCE}=1；

（2）分以下兩類討論：
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上或在線段CB的延長線上時(shí)，∠EDC=∠BAD，如圖2、圖3所示．
如圖2∵△BAD≌△CAE（ASA），（已證）
∴AD=AE．
∵∠MAN=90°，
∴∠AED=45°．
∴∠AED=∠ACB．
在△AOE和△DOC中，∠AOE=∠DOC，
∴∠EDC=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠1．
如圖3中同理可證
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，
∠EDC+∠BAD=180°，
理由：如圖4所示．
∵△BAD≌△CAE，
∴AD=AE．
∴∠ADE=∠AED=45°．
∵∠EDC=45°+∠ADC，∠BAD=180°-45°-∠ADC，
∴∠EDC+∠BAD=45°+∠ADC+180°-45°-∠ADC=180°

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．