Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）求證：BC是CD與CA的比例中項；
（3）若BC=2，求AB的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質以及等腰三角形的性質得出對應角相等，進而得出相似三角形；
（2）利用（1）中所求，利用相似三角形的性質得出即可；
（3）利用等腰三角形的性質以及一元二次方程的解法得出即可．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分線，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；

（2）證明：∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

，
∴AB×CD=BC²，
∵AB=AC，
∴AC×CD=BC²，
∴BC是CD與CA的比例中項；

（3）解：∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD=BC，
∵BC=2，
∴AD=2，
∴（2+DC）×CD=2²，
解得：CD=

5

-1，
∴AC=

5

-1+2=

5

+1．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質等知識，利用已知得出△ABC∽△BCD是解題關鍵．