Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，

∠BAD＝45°，AD與BE交于點F，連接CF．

（1）求證：BF＝2AE；

（2）若CD＝，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）AD=2+

【解析】

試題分析：（1）根據AD⊥BC，∠BAD=45°，得出AD=BD，∠ADC=∠FDB=90°，根據AD⊥BC，BE⊥AC得出∠CAD=∠CBE，從而得出△ADC和△BDF全等，得出AC=BF，根據AB=BC，BE⊥AC，得出AE=EC，可得BF=2AE；（2）根據△ADC和△BDF全等得出DF=CD=，根據Rt△CDF的勾股定理得出CF=2，得出AF=FC=2，根據AD=AF+DF求出長度．

試題解析：（1）∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴ ∠ABD=∠BAD=45°．

∴ AD=BD．

∵ AD⊥BC,BE⊥AC,

∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o

∴ ∠CAD=∠CBE．

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

∴ △ADC≌△BDF．

∴ AC=BF．

∵ AB=BC,BE⊥AC,

∴ AE=EC，即AC＝2AE．

∴ BF＝2AE．

（2）∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=．

∴ 在Rt△CDF中，CF＝＝2．

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2．

∴ AD=AF+DF=2+．