Question

已知：如圖，在△ABC中，D為A月邊上一點(diǎn)，∠A＝36°，AC＝BC，AC²＝AB·AD．

(1)試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形，

(2)若AB＝1，求AC的長，

(3)試構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，要求該梯形連同它的兩條對角線所形成的8個(gè)三角形中有盡可能多的等腰三角形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在△ABC中，AC＝BC，∠A＝36°，∴∠B＝∠A＝36°，∠ACB＝108°…………1分 　　在△ABC與△CAD中，∠A＝∠B＝36°． 　　∵AC2＝AB·AD，∴． 　　∴△ABC∽△CAD．……………………………3分 　　∴∠ACD＝∠B＝36°． 　　∴∠CDB＝72°，∠DCB＝108°－36°＝72°． 　　∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．……………………5分 　　(2)設(shè)AC＝x，則AD＝1－BD＝1－BC＝1－2x 　　∴x2＝1×(1－x)，即x2＋x－1＝0．解得(舍去)． 　　∴………………………………………………………………8分 　　(3)說明：按照畫出的梯形中，有4個(gè)，6個(gè)和8個(gè)等腰三角形三種情況分類得分． 　�、儆�4個(gè)等腰三角形，得1分； 　�、谟�6個(gè)等腰三角形，得2分； 　　③有8個(gè)等腰三角形，得4分．