Question

如圖，P是半徑為

3

cm的⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于點A，B，PA=PB=3cm，∠APB=60°，C是弧AB上一點，過C作⊙O的切線交PA，PB于點D，E．
（1）求△PDE的周長；
（2）若DE=

4 3

3

cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線長定理,扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）根據切線長定理得PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，由三角形周長定義得△PDE的周長=PE+DE+PD，然后利用等線段可得△PDE的周長=PA+PB=6cm；
（2）連接OB、OA、OE，OD，如圖，根據切線的性質得∠OBP=∠OPA=90°，再根據四邊形內角和計算出∠BOA=120°，利用切線長定理得BE=CE，DC=DA，則根據三角形面積公式得到S_△OCE=S_△OBE，S_△OCD=S_△ODA，所以S_五邊AOBED=2S_△ODE=4，然后根據扇形面積公式和圖中陰影部分的面積=S_五邊AOBED-S_扇形AOB進行計算．

解答：解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切線，
∴PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，
∴△PDE的周長=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD
=PE+BE+AD+PD
=PA+PB
=3cm+3cm
=6cm；
（2）連接OB、OA、OE，OD，如圖，
∵PA、PB、OC是⊙O的切線，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，
∴∠OBP=∠OPA=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠BOA=120°，
∵BE=CE，DC=DA，
∴S_△OCE=S_△OBE，S_△OCD=S_△ODA，
∴S_五邊AOBED=2S_△ODE=2×

1

2

×

4 3

3

×

3

=4，
∴圖中陰影部分的面積=S_五邊AOBED-S_扇形AOB=4-

120•π•( 3 )2

360

=（4-π）cm²．

點評：本題考查了切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．也考查了扇形面積的計算．