【題目】如圖,在⊙O中,AB為直徑,AC為弦.過BC延長線上一點G,作GD⊥AO于點D,交AC于點E,交⊙O于點F,M是GE的中點,連接CF,CM.
(1)判斷CM與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的長.
【答案】(1)CM與⊙O相切,理由見解析;(2)MF=.
【解析】
(1)連接OC,如圖,利用圓周角定理得到∠ACB=90°,再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得MC=MG=ME,所以∠G=∠1,接著證明∠1+∠2=90°,從而得到∠OCM=90°,然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法可判斷CM為⊙O的切線;
(2)先證明∠G=∠A,再證明∠EMC=∠4,則可判定△EFC∽△ECM,利用相似比先計算出CE,再計算出EF,然后計算ME-EF即可.
解:(1)CM與⊙O相切.理由如下:
連接OC,如圖,
∵GD⊥AO于點D,
∴∠G+∠GBD=90°,
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∵M點為GE的中點,
∴MC=MG=ME,
∴∠G=∠1,
∵OB=OC,
∴∠B=∠2,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠OCM=90°,
∴OC⊥CM,
∴CM為⊙O的切線;
(2)∵∠1+∠3+∠4=90°,∠5+∠3+∠4=90°,
∴∠1=∠5,
而∠1=∠G,∠5=∠A,
∴∠G=∠A,
∵∠4=2∠A,
∴∠4=2∠G,
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G,
∴∠EMC=∠4,
而∠FEC=∠CEM,
∴△EFC∽△ECM,
∴,即,
∴CE=4,EF=,
∴MF=ME﹣EF=6﹣=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在“我為祖國點贊”征文活動中,學校計劃對獲得一、二等獎的學生分別獎勵一支鋼筆,一本筆記本.已知購買2支鋼筆和3個筆記本共38元,購買4支鋼筆和5個筆記本共70元.
(1)鋼筆、筆記本的單價分別為多少元?
(2)經(jīng)與商家協(xié)商,購買鋼筆超過30支時,每增加一支,單價降低0.1元;超過50支,均按購買50支的單價銷售.筆記本一律按原價銷售.學校計劃獎勵一、二等獎學生共計100人,其中一等獎的人數(shù)不少于30人,且不超過60人,這次獎勵一等學生多少人時,購買獎品金額最少,最少為多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,點D是邊AB上的動點,將△ACD沿CD所在的直線折疊至△CDA的位置,CA'交AB于點E.若△A'ED為直角三角形,則AD的長為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點P坐標為(1,),以OP為斜邊作等腰直角△OAP,直角頂點A在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值是_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A,B,C三點,其中點B的坐標為(1,0),點C的坐標為(0,4);點D的坐標為(0,2),點P為二次函數(shù)圖象上的動點.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)當點P位于第二象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上時,連接AD,AP,以AD,AP為鄰邊作平行四邊形APED,設(shè)平行四邊形APED的面積為S,求S的最大值;
(3)在y軸上是否存在點F,使∠PDF與∠ADO互余?若存在,直接寫出點P的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,在ABCD中,AE⊥BC于E,E恰為BC的中點.tanB=2.
(1)求證:AD=AE;
(2)如圖2.點P在BE上,作EF⊥DP于點F,連結(jié)AF.線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
(3)請你在圖3中畫圖探究:當P為射線EC,上任意一點(P不與點E重合)時,作EF⊥DP于點F,連結(jié)AF,線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請在圖3中補全圖形,直接寫出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在初中階段的函數(shù)學習中,我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一一運用函數(shù)解決問題"的學習過程.在畫函數(shù)圖象時,我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象.同時,我們也學習了絕對值的意義.結(jié)合上面經(jīng)歷的學習過程,現(xiàn)在來解決下面的問題在函數(shù)中,當時,當時,
(1)求這個函數(shù)的表達式;
(2)在給出的平面直角坐標系中,請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象井并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì);
(3)已知函的圖象如圖所示,結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象,直接寫出不等式的解集.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與雙曲線交于點A,過點作AO的平行線交雙曲線于點B,連接AB并延長與y軸交于點,則k的值為______.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a≠0)頂點為P,且該拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).我們規(guī)定:拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”(不包含邊界);橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點.
(1)求拋物線y=ax2-2ax-3a頂點P的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如果拋物線y=ax2-3ax-3a經(jīng)過(1,3).
①求a的值;
②在①的條件下,直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點的個數(shù).
(3)如果拋物線y=ax2-2ax-3a在“G區(qū)域”內(nèi)有4個整點,直接寫出a的取值范圍.
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