Question

20．如圖，在?ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)都在BD上，BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AB⊥AC，AB=4，AC=6，當(dāng)?AECF是矩形時(shí)，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，證出OE=OF，即可得出四邊形AECF是平行四邊形．
（2）求出OA=$\frac{1}{2}$AC=3，由勾股定理求出OB，由矩形的性質(zhì)得出OE=OA=3，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
（2）解：∵OA=$\frac{1}{2}$AC=3，AB⊥AC，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
當(dāng)?AECF是矩形時(shí)，OE=OA=3，
∴BE=OB-OE=5-3=2．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，由勾股定理求出OB是解決問題（2）的關(guān)鍵．．