Question

12．在直角坐標系中，已知線段AB，點A的坐標為（1，-2），點B的坐標為（3，0），如圖1所示．

（1）平移線段AB到線段CD，使點A的對應(yīng)點為D，點B的對應(yīng)點為C，若點C的坐標為（-2，4），求點D的坐標；
（2）平移線段AB到線段CD，使點C在y軸的正半軸上，點D在第二象限內(nèi)，連接BC，BD，如圖2所示．若S_△BCD=7（S_△BCD表示三角形BCD的面積），求點C、D的坐標．
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點P，使$\frac{{S}_{△PCD}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{2}{3}$（S_△PCD表示三角形PCD的面積）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移得性質(zhì)確定出平移得單位和方向；
（2）根據(jù)平移得性質(zhì)，設(shè)出平移單位，根據(jù)S_△BCD=7（S_△BCD建立方程求解，即可，
（3）設(shè)出點P的坐標，表示出PC用$\frac{{S}_{△PCD}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{2}{3}$，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵B（3，0）平移后的對應(yīng)點C（-2，4），
∴設(shè)3+a=-2，0+b=4，
∴a=-5，b=4，
即：點B向左平移5個單位，再向上平移4個單位得到點C（-2，4），
∴A點平移后的對應(yīng)點D（-4，2），
（2）∵點C在y軸上，點D在第二象限，
∴線段AB向左平移3個單位，再向上平移（2+y）個單位，符合題意，
∴C（0，2+y），D（-2，y），
連接OD，
S_△BCD=S_△BOC+S_△COD-S_△BOD
=$\frac{1}{2}$OB×OC+$\frac{1}{2}$OC×2-$\frac{1}{2}$OB×y=7，
∴y=2，
∴C（0，4）．D（-2，2）；
（3）設(shè)點P（0，m），
∴PC=|4-m|，
∵$\frac{{S}_{△PCD}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|4-m|×2=$\frac{2}{3}$×7，
∴|4-m|=$\frac{14}{3}$，
∴m=-$\frac{2}{3}$或m=$\frac{26}{3}$，
∴存在點P，其坐標為（0，-$\frac{2}{3}$）或（0，$\frac{26}{3}$）．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了平移得性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是平移性質(zhì)的靈活運用，用面積關(guān)系建立方程．