Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（ ，0），B（3 ，2），C（0，2）．動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作EF⊥AB，交BC于點(diǎn)F，連接DA、DF．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AB∥DF；
（3）設(shè)四邊形AEFD的面積為S．①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②若一拋物線y=﹣x2+mx經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)S＜2 時(shí)，求m的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M

∵C（0，2），B（3 ，2）

∴BC∥OA

∴∠ABC=∠BAM

∵BM=2，AM=2

∴tan∠BAM=

∴∠ABC=∠BAM=30°

（2）

解：∵AB∥DF

∴∠CFD=∠CBA=30°

在Rt△DCF中，CD=2﹣t，∠CFD=30°，

∴CF= （2﹣t）

∴AB=4，

∴BE=4﹣2t，∠FBE=30°，

∴BF=

∴ （2﹣t）+ = ，

∴t=

（3）

解：①連接DE，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，

則EG=t，OG= + t

∴E（ + t，t）

∴DE∥x軸

S=S△DEF+S△DEA= DE×CD+ DE×OD

= ×OC= ×（ ）×2

= + t．

②當(dāng)S 時(shí)，

由①可知，S= + t

∴ t+ ＜2 ，

∴t＜1，

∵t＞0，

∴0＜t＜1，

∵y=﹣x2+mx，點(diǎn)E（ + t，t）在拋物線上，

當(dāng)t=0時(shí)，E（ ，0），

∴m= ，

當(dāng)t=1時(shí)，E（2 ，1），

∴m= ，

∴ ＜m＜

【解析】（1）求∠ABC的度數(shù)即求∠BAx的度數(shù)，過B作BM⊥x軸于M，則AM=2 ，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度數(shù)．（2）當(dāng)AB∥FD時(shí)，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的長(zhǎng)表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的長(zhǎng)表示出BF，然后可根據(jù)CF+BF=BC來求出t的值．（3）①連接DE，根據(jù)D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四邊形ODEG是矩形，因此DE∥x軸，那么四邊形AEFD的面積可分成三角形ADE和三角形EFD兩部分來求出．兩三角形都以DE為底，兩三角形高的和正好是OC的長(zhǎng)，因此四邊形ADEF的面積就等于 DEOC，關(guān)鍵是求出DE的長(zhǎng)．如果過A作DE的垂線不難得出DE=OA+AEsin60°，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②已知了S的取值范圍可根據(jù)①的函數(shù)關(guān)系式求出t的取值范圍．在①題已經(jīng)求得了E點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，用m表示出t的值，然后根據(jù)t的取值范圍即可求出m的取值范圍．