Question

如圖所示，在矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC邊的三等分點，連接AE，AF，AC．請問圖中是否存在非全等的相似三角形，并指出．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：先由矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，設(shè)AB=k，則BC=3AB=3k，根據(jù)三等分點的定義得出BE=EF=FC=

1

3

BC=k，由勾股定理，求出AE=

AB2+BE2

=

2

k，AF=

AB2+BF2

=

5

k，AC=

AB2+BC2

=

10

k，再通過計算得到

AE

CE

=

AF

CA

=

EF

EA

，從而判定△EAF∽△ECA．

解答：解：圖中存在非全等的相似三角形，是△EAF∽△ECA．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°．
設(shè)AB=k，則BC=3AB=3k．
∵E、F是BC邊的三等分點，
∴BE=EF=FC=

1

3

BC=k．
由勾股定理，得AE=

AB2+BE2

=

2

k，
AF=

AB2+BF2

=

5

k，
AC=

AB2+BC2

=

10

k．
在△EAF與△ECA中，
∵

AE

CE

=

2 k

2k

=

2

2

，

AF

CA

=

5 k

10 k

=

2

2

，

EF

EA

=

k

2 k

=

2

2

，
∴

AE

CE

=

AF

CA

=

EF

EA

，
∴△EAF∽△ECA．

點評：本題考查了相似三角形的判定，難度適中．判定兩三角形相似的方法有：
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
同時考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理．