Question

【題目】如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．

（1）求證：DA∥BC；

（2）猜想線段DF、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）猜想：DF=2AF，證明見解析．

【解析】

試題（1）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠DAB=∠ABC，進(jìn)而得出答案；

（2）首先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），進(jìn)而得出△BGF為等邊三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

試題解析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠DAB=60°，

∴∠DAB=∠ABC，

∴DA∥BC；

（2）猜想：DF=2AF，

證明如下：如圖，在DF上截取DG=AF，連接BG，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，

在△DBG和△ABF中，

，

∴△DBG≌△ABF（SAS），

∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，

∵∠DBG+∠GBE=α=60°，

∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，

又∵BG=BF，

∴△BGF為等邊三角形，

∴GF=BF，

又∵BF=AF，

∴FG=AF，

∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．