Question

20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

（1）如圖1，若A、B兩點的坐標分別是A（0，4），B（-2，0），求C點的坐標；
（2）如圖2，作∠ABC的角平分線BD，交AC于點D，過C點作CE⊥BD于點E，求證：CE=$\frac{1}{2}$BD；
（3）如圖3，點P是射線BA上A點右邊一動點，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點，當點P運動時，點Q是否恒在射線BD上？若在，請證明；若不在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）要求點C坐標，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可；
（2）延長CE、BA相交于點F．可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF，再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出結(jié)論；
（3）點Q是否恒在射線BD上，只要證明QM=QN，只要證明△M，HQ≌△NGQ即可．

解答 解：（1）如圖1中，作CM⊥OA垂足為M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CAM}\\{∠AOB=∠AMC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴點C坐標（4，2）；

（2）如圖2，延長CE、BA相交于點F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD；

（3）結(jié)論：點Q恒在射線BD上，
理由如下：
如圖3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分別為E、G、H、M、N．
在四邊形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，
∴∠MQN=180°-∠ABC=135°，
同理可證：∠HQG=135°，
∴∠MQN=∠HQG，
∴∠MQH=∠GQN，
∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，
∴QE=QH=QG，∠QPH=$\frac{1}{2}$∠CPF=22.5°，
∵∠PMQ=∠PHQ=90°，
∴M、H、Q、P四點共圓，
∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，
∴∠FMQ=∠QNG，
在△MHQ和△NGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HMQ=∠QNG}\\{∠MQH=∠NQG}\\{QF=QG}\end{array}\right.$，
∴△MHQ≌△NGQ，
∴QM=QN，
∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴BQ平分∠ABC，
∴點Q恒在射線BD上．

點評 本題考查了全等三角形的判定或性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、四點共圓等知識，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，過點Q向兩邊作垂線是證明角平分線的常用手段．