Question

4．已知：直線AB∥CD，點(diǎn)M，N分別在直線AB，CD上，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)．
（1）如圖1，探究∠AME，∠E，∠ENC的數(shù)量關(guān)系；并加以證明．
（2）如圖2，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度數(shù)．
（3）如圖3，點(diǎn)G為CD上一點(diǎn)，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于點(diǎn)H，直接寫出∠GEK，∠BMN，∠GEH之間的數(shù)量關(guān)系（用含m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)E作l∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代換可得結(jié)論；
（2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠NEF=$\frac{1}{2}$∠MEN，∠ENP=$\frac{1}{2}$∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=$\frac{1}{2}$∠ENC，由（1）的結(jié)論可得∠MEN=∠BME+∠END，等量代換得出結(jié)論；
（3）由已知可得∠EMN=$\frac{1}{m}$∠BMN，∠GEN=$\frac{1}{m}$∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=$\frac{1}{m}$∠BMN，因?yàn)椤螱EH=∠GEM-∠HEM，等量代換得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作l∥AB，
∵AB∥CD，
∴l(xiāng)∥AB∥CD，
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∵∠MEN=∠1+∠2，
∴∠E=∠AME+∠ENC；

（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠NEF=$\frac{1}{2}$∠MEN，∠ENP=$\frac{1}{2}$∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠QEN=∠ENP=$\frac{1}{2}$∠ENC，
∵∠MEN=∠AME+∠ENC，
∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°，
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ
=$\frac{1}{2}$∠MEN-$\frac{1}{2}$∠ENC，
=$\frac{1}{2}$×30°=15°；

（3）m∠GEH=∠GEK-∠AMN．
∵∠AMN=m•∠EMN，∠GEK=m•∠GEM，
∴∠EMN=$\frac{1}{m}$∠AMN，∠GEN=$\frac{1}{m}$∠GEK，
∵EH∥MN，
∴∠HEM=∠EMN=$\frac{1}{m}$∠AMN，
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM，
=$\frac{1}{m}$∠GEK-$\frac{1}{m}$∠AMN，
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN，
∵∠BMN=180°-∠AMN，
∴∠BMN+∠KEG-m∠GEH=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，結(jié)合圖形等量代換是解答此題的關(guān)鍵．