Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．
（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC=2

5

，求⊙O的半徑；
（3）若在⊙O上存在唯一點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OB，求出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°，∠OBP=∠OPB，推出∠ACP=∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；
（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，根據(jù)勾股定理得出AB²=OA²-OB²=5²-r²，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，根據(jù)AC=AB得出方程5²-r²=（2

5

）²-（5-r）²，求出即可；
（3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE=

1

2

52-r2

．根據(jù)圓O要與直線MN有唯一交點，得出方程

1

2

52-r2

=r，求出即可．

解答：解：（1）AB=AC．理由如下：如圖1，
連接OB，
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB．
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC．

（2）如圖2，
延長AP交⊙O于D，連接BD，
設(shè)圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5-r．
又∵PC=2

5

，
∴AB²=OA²-OB²=5²-r²，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
∵由（1）知AC=AB，
∴5²-r²=（2

5

）²-（5-r）²，
解得：r=3，
即⊙O的半徑是3；

（3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，
則OE=

1

2

AC=

1

2

AB=

1

2

52-r2

．
又∵圓O要與直線MN有唯一交點，
∴OE=

1

2

52-r2

=r，
∴r=

5

，
即⊙O的半徑是

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．