【題目】在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點,把△PBC沿直線PC折疊,頂點B的對應(yīng)點是點G,過點B作BE⊥CG,垂足為E且在AD上,BE交PC于點F.
(1)如圖1,若點E是AD的中點,求證:△AEB≌△DEC;
(2)如圖2,①求證:BP=BF;
②當AD=25,且AE<DE時,求cos∠PCB的值;
③當BP=9時,求BEEF的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②;③108.
【解析】(1)先判斷出∠A=∠D=90°,AB=DC再判斷出AE=DE,即可得出結(jié)論;
(2)①利用折疊的性質(zhì),得出∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,進而判斷出∠GPF=∠PFB即可得出結(jié)論;
②判斷出△ABE∽△DEC,得出比例式建立方程求解即可得出AE=9,DE=16,再判斷出△ECF∽△GCP,進而求出PC,即可得出結(jié)論;
③判斷出△GEF∽△EAB,即可得出結(jié)論.
(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=DC,
∵E是AD中點,
∴AE=DE,
在△ABE和△DCE中,,
∴△ABE≌△DCE(SAS);
(2)①在矩形ABCD,∠ABC=90°,
∵△BPC沿PC折疊得到△GPC,
∴∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,
∵BE⊥CG,
∴BE∥PG,
∴∠GPF=∠PFB,
∴∠BPF=∠BFP,
∴BP=BF;
②當AD=25時,
∵∠BEC=90°,
∴∠AEB+∠CED=90°,
∵∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠CED=∠ABE,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEC,
∴,
設(shè)AE=x,
∴DE=25﹣x,
∴,
∴x=9或x=16,
∵AE<DE,
∴AE=9,DE=16,
∴CE=20,BE=15,
由折疊得,BP=PG,
∴BP=BF=PG,
∵BE∥PG,
∴△ECF∽△GCP,
∴,
設(shè)BP=BF=PG=y,
∴,
∴y=,
∴BP=,
在Rt△PBC中,PC=,cos∠PCB==;
③如圖,連接FG,
∵∠GEF=∠BAE=90°,
∵BF∥PG,BF=PG,
∴BPGF是菱形,
∴BP∥GF,
∴∠GFE=∠ABE,
∴△GEF∽△EAB,
∴,
∴BEEF=ABGF=12×9=108.
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【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點A(﹣2,2)和點B(﹣3,﹣2)的位置如圖所示.
(1)作出線段AB關(guān)于y軸對稱的線段A′B′,并寫出點A、B的對稱點A′、B′的坐標;
(2)連接AA′和BB′,請在圖中畫一條線段,將圖中的四邊形AA′B′B分成兩個圖形,其中一個是軸對稱圖形,另一個是中心對稱圖形,并且線段的一個端點為四邊形的頂點,另一個端點在四邊形一邊的格點上.(每個小正方形的頂點均為格點).
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【題目】如圖,AC⊥BC,AC=BC=4,以BC為直徑作半圓,圓心為O.以點C為圓心,BC為半徑作弧AB,過點O作AC的平行線交兩弧于點D、E,則陰影部分的面積是_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCD的頂點A點,D點分別在x軸、y軸上,對角線BD∥x軸,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點E,若點A(2,0),D(0,4),則k的值為( )
A.16B.20C.32D.40
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【題目】某文明小區(qū)50平方米和80平方米兩種戶型的住宅,50平方米住宅套數(shù)是80平方米住宅套數(shù)的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取當月物管費,該小區(qū)全部住宅都人住且每戶均按時全額繳納物管費.
(1)該小區(qū)每月可收取物管費90 000元,問該小區(qū)共有多少套80平方米的住宅?
(2)為建設(shè)“資源節(jié)約型社會”,該小區(qū)物管公司5月初推出活動一:“垃圾分類送禮物”,50平方米和80平方米的住戶分別有40%和20%參加了此次括動.為提離大家的積扱性,6月份準備把活動一升級為活動二:“拉圾分類抵扣物管費”,同時終止活動一.經(jīng)調(diào)査與測算,參加活動一的住戶會全部參加活動二,參加活動二的住戶會大幅增加,這樣,6月份參加活動的50平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加,每戶物管費將會減少;6月份參加活動的80平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加,每戶物管費將會減少.這樣,參加活動的這部分住戶6月份總共繳納的物管費比他們按原方式共繳納的物管費將減少,求的值.
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【題目】如圖,已知矩形ABCD的一條邊AD=8 cm,點P在CD邊上,AP=AB, PC=4cm,連結(jié)PB.點M從點P出發(fā),沿PA方向勻速運動(點M與點P、A不重合);點N同時從點B出發(fā),沿線段AB的延長線勻速運動,連結(jié)MN交PB于點F.
(1)求AB的長;
(2)若點M的運動速度為1cm/s,點N的運動速度為2cm/s,△AMN的面積為S,點M和點N的運動時間為,求S與的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)若點M和點N的運動速度相等,作ME⊥BP于點E.試問當點M、N在運動過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;若不變,求出線段EF的長度.
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【題目】如圖,在ABCD中,點E、F分別在邊AB和CD上,下列條件不能判定四邊形DEBF一定是平行四邊形的是( 。
A. AE=CF B. DE=BF C. ∠ADE=∠CBF D. ∠AED=∠CFB
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線過B(﹣2,6),C(2,2)兩點.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)記拋物線頂點為D,求△BCD的面積;
(3)若直線向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點B、C)部分有兩個交點,求b的取值范圍.
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【題目】如圖,已知等邊△AOC的周長為3,作OD⊥AC于點D,在x軸上取點C1,使CC1=DC,以CC1為邊作等邊△A1CC1;作CD1⊥A1C1于點D1,在x軸上取點C2,使C1C2=D1C1,以C1C2為邊作等邊△A2C1C2;作C1D2⊥A2C2于點D2,在x軸上取點C,使C2C3=D2C2,以C2C3為邊作等邊△A3C2C3;…,且點A,A1,A2,A3,…都在第一象限,如此下去,則等邊△A2019C2018C2019的頂點A2019坐標為_____.
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