Question

17．類比平行四邊形，我們學習箏形，定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．如圖①，若AD=CD，AB=CB，則四邊形ABCD是箏形．
（1）在同一平面內，△ABC與△ADE按如圖②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC與DE相交于點F，請你判斷四邊形ABFD是不是箏形，并說明理由．
（2）請你結合圖①，寫出一個箏形的判定方法（定義除外）．
在四邊形ABCD中，若AD=CD，∠ADB=∠CDB，則四邊形ABCD是箏形．
（3）如圖③，在等邊三角形OGH中，點G的坐標為（$\sqrt{3}$-1，0），在直線l：y=-x上是否存在點P，使得以O，G，H，P為頂點的四邊形為箏形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AF，通過給定的條件結合全等直角三角形的判定定理（HL）可得出Rt△AFB≌Rt△AFD，由此找出BF=DF，結合箏形定義即可得出結論；
（2）若要四邊形ABCD是箏形，只需證明△ABD≌△CBD即可．根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS）隨便選取一組條件“當AD=CD，∠ADB=∠CDB”來證明；
（3）過點H作HP₁⊥OG于點M交直線y=-x于點P₁點，連接GP₁，過點G作GP₂⊥OH與N交直線y=-x于點P₂，連接HP₂，由等邊三角形的三線合一可得知“HM為OG的垂直平分線，GN為OH的垂直平分線”，由此即得出“四邊形OHGP₁為箏形，四邊形OGHP₂為箏形”，再根據(jù)給定條件找出點M、N、H點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得出直線HM和直線GN的解析式，最后結合兩直線的交點知識求出點P的坐標．

解答 解：（1）四邊形ABFD是箏形．
理由：如圖②，連接AF．

在Rt△AFB和Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFB≌Rt△AFD（HL），
∴BF=DF，
又∵AB=AD，
∴四邊形ABFD是箏形．
（2）若要四邊形ABCD是箏形，只需△ABD≌△CBD即可．
當AD=CD，∠ADB=∠CDB時，在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠CDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB=CB，
∴四邊形ABCD是箏形．
故答案為：AD=CD，∠ADB=∠CDB．
（3）存在，理由如下：
過點H作HP₁⊥OG于點M交直線y=-x于點P₁點，連接GP₁，過點G作GP₂⊥OH與N交直線y=-x于點P₂，連接HP₂，如圖③所示．

∵△OGH為等邊三角形，
∴HM為OG的垂直平分線，GN為OH的垂直平分線，且OG=GH=HO，
∴P₂O=P₂H，P₁O=P₁G，
∴四邊形OHGP₁為箏形，四邊形OGHP₂為箏形．
∵△OGH為等邊三角形，點G的坐標為（$\sqrt{3}$-1，0），
∴點H的坐標為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），點M的坐標為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，0），點N的坐標為（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）．
①∵H（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），M（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，0），
∴直線HM的解析式為x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
令直線y=-x中的x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，則y=-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
∴P₁的坐標為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）；
②設直線GN的解析式為y=kx+b，則有，
$\left\{\begin{array}{l}{0=（\sqrt{3}-1）k+b}\\{\frac{3-\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線GN的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
故點P₂的坐標為（-1，1）．
綜上可知：在直線l：y=-x上存在點P，使得以O，G，H，P為頂點的四邊形為箏形，點P的坐標為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-1，1）．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用、箏形的應用、全等三角形的判定及性質、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解二元一次方程組，解題的關鍵是：（1）找出BF=DF；（2）證明△ABD≌△CBD；（3）找出點P的位置．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度也不大，但在實際做題中，部分圖形往往會落下一種情況，因此在日常的練習中應時刻提醒孩子們注意思考問題的全面性．