Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2

3

，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°．
（1）如圖1，求點P的坐標；
（2）如圖2，連BP、AP，在PB上任取一點E，連AE，將線段AE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連BF，交AP于點G，當(dāng)E在線段BP上運動時（不與B、P重合），

BE

PG

是否為定值？
（3）如圖3，點Q是弧AP上一動點（不與A、P重合），連PQ、AQ、BQ，

BQ-AQ

PQ

是否為定值？若是，請求其值；若不是，求其范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作PH⊥x軸于H，連結(jié)PA、PB，由A、B兩點的坐標可求出AB，由△PAB和△POH都為等腰直角三角形，得出PA=

2

2

AB=，PH=OH，設(shè)OH=t，在在Rt△PHA中，運用勾股定理求出t的值，即可得出點P的坐標．
（2）過F作FM⊥AP，由△AFM≌△EAP得出AM=PE，F(xiàn)M=AP=BP，再由△GFM≌△GBP得出PG=GM，利用線段關(guān)系可得出PG=

1

2

PM=

1

2

BE，故得出

BE

PG

=2是定值．
（3）作PE⊥AQ，交AQ的延長線于E，作PD⊥BQ于D，由△PBD≌△PAE，得出PD=PE，BD=AE，所以四邊形PDCE為正方形，得出QD=QE，利用線段關(guān)系得出BQ-AQ=2DQ，結(jié)合△PDQ為等腰直角三角形，即可求出

BQ-AQ

PQ

=

2

是定值．

解答：解：（1）如圖1，作PH⊥x軸于H，連結(jié)PA、PB，

∵∠AOB=90°，
∴AB為△AOB外接圓的直徑，
∴∠BPA=90°，
∵A、B兩點的坐標分別為（2

3

，0）、（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
∴∠ABP=45°，
∴△PAB和△POH都為等腰直角三角形，
∴PA=

2

2

AB=2

2

，PH=OH，
設(shè)OH=t，則PH=t，AH=2

3

-t，
在Rt△PHA中，
∵PH²+AH²=PA²，
∴整理得t²-2

3

t+2=0，解得t₁₌

3

+1，t₂=

3

-1（舍去），
∴P點坐標為（

3

+1，

3

+1），
（2）如圖2，過F作FM⊥AP，

∵∠PAE+∠MAF=90°，∠MFA+∠MAF=90°
∴∠PAE=∠MFA，
∵AE=AF，
在△AFM和△EAP，

∠EPA=∠AMF ∠PAE=∠MFA AE=AF

∴△AFM≌△EAP（AAS）
∴AM=PE，F(xiàn)M=AP=BP，
∴AP-AM=BP-PE，
∴PM=BE，
在△GFM和△GBP中，

∠FGM=∠PGB ∠FMB=∠BPG FM=PB

∴△GFM≌△GBP（AAS），
∴PG=GM，
∴PG=

1

2

PM=

1

2

BE，
∴

BE

PG

=2．
（3）如圖3，作PE⊥AQ，交AQ的延長線于E，作PD⊥BQ于D，

∵AB為直徑，
∴∠AQB=90°，
∵PD⊥BQ，PE⊥AQ，
∴四邊形PDQE為矩形，
在△PBD和△PAE中，

∠BDP=∠AEP ∠PBD=∠PAE BP=AP

∴△PBD≌△PAE（AAS），
∴PD=PE，BD=AE，
∴四邊形PDCE為正方形
∴QD=QE，
∴BD=AE=QE+AQ=DQ+AQ；
∴BQ-AQ=BD+DQ-AQ=DQ+AQ+DQ-AQ=2DQ，
∴

BQ-AQ

PQ

=

2DQ

PQ

，
∵∠PQB=∠PAB=45°，
∴△PDQ為等腰直角三角形，
∴PQ=

2

DQ，
∴

BQ-AQ

PQ

=

2DQ

PQ

=

2DQ

2 DQ

=

2

．

點評：此題主要考查了圓周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力；能正確作出輔助線構(gòu)建出與已知和所求相關(guān)的直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．