Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，∠BAD=120°，∠MAN=60°，將圖1中的∠MAN繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜120°，邊AM、AN分別交直線BC、CD于E、F兩點．
（1）當0°＜α≤60°時，其他條件不變，如圖2、如圖3．
①如圖2，判斷線段BE、DF、EF的數(shù)量關系，并直接寫出結論．
②如圖3，①中的結論是否依然成立？若成立，請利用圖3證明；若不成立，說明理由．
（2）當60°＜α＜120°時，其他條件不變，請在圖4中畫出一個符合條件的圖形，直接寫出所畫圖形中線段BE、DF、EF的數(shù)量關系．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）①如圖2，延長FD至G，使DG=BE，連接AG就可以證明△AEB≌△AGD，就可以得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證明△AEF≌△AGF就可以得出EF=GF而得出結論；
②如圖3，延長FD至G，使DG=BE，連接AG就可以證明△AEB≌△AGD，就可以得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證明△AEF≌△AGF就可以得出EF=GF而得出結論；
（2）如圖4，延長DF至G，使DG=BE，連接AG就可以證明△AEB≌△AGD，就可以得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證明△AEF≌△AGF就可以得出EF=GF而得出結論．

解答：解：（1）①BE+DF=EF
理由：如圖2，延長FD至G，使DG=BE，連接AG．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠BAD=120°，∠DAB+∠B=180°
∴∠ADG=60°，∠B=60°，
∴∠ADG=∠B．
在△AEB和△AGD中，

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=120°，且∠MAN=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠GAD+∠DAF=60°，
即∠GAF=60°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
②BE+DF=EF的結論仍然成立．
理由：如圖3，延長FD至G，使DG=BE，連接AG．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠BAD=120°，∠DAB+∠B=180°
∴∠ADG=60°，∠B=60°，
∴∠ADG=∠B．
在△AEB和△AGD中，

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=120°，且∠MAN=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠GAD+∠DAF=60°，
即∠GAF=60°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（2）當60°＜α＜120°時，BE=EF+DF．
理由：如圖4，延長DF至G，使DG=BE，連接AG．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠BAD=120°，∠B=∠C，∠DAB+∠B=180°
∴∠ADG=60°，∠B=∠C=60°，
∴∠ADG=∠B．
在△AEB和△AGD中，

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
作AH∥CD，交BC于H，
∴∠AHB=∠C=60°．
∴∠BAH=60°，
∴∠DAH=60°．
∵∠MAN=60°，
∴∠DAH=∠MAN，
∴∠DAH-∠2=∠MAN-∠2．
即∠3=∠1．
∴∠BAE-∠3=∠DAG-∠1，
∴∠BAH=∠GAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF．
∵GD=GF+DF，
∴GD=EF+DF，
∴BE=EF+DF．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．