Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．

（1）過(guò)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，作軸交對(duì)稱軸于點(diǎn)，以為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，軸上有一動(dòng)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從線段的中點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值：

（2）如圖， 將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置， 點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，連接．點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接， 將沿直線翻折為， 是否存在點(diǎn)， 使得為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)，，以及作關(guān)于軸對(duì)稱，并過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)即為所求，從而進(jìn)行分析求解即可；

（2）根據(jù)題意分四種情形即①當(dāng)AA'=A'B時(shí)；②當(dāng)AA'=AB時(shí)；③當(dāng)AA'=A'B時(shí)；④當(dāng)A'B=AB時(shí)分別畫(huà)出圖形并進(jìn)行分析求解.

解：（1）設(shè)，，

，

，開(kāi)口向下，

當(dāng)時(shí)，，

最少時(shí)間，

，作關(guān)于軸對(duì)稱，

過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)即為所求，

令y=0，解得

，

，

過(guò)作，

.

（2）①當(dāng)AA'=A'B時(shí)，如圖2中，

此時(shí)，A'在對(duì)稱軸上

對(duì)稱性可知∠AC′E=∠A'C′E

又∠HEC′=∠A'C′E

∴∠AC′E=∠HEC′

∴HE=HC'=5 2 ＝3 ，

∴OE=HE-HO=3 3，

∴E(0，33 )，

②當(dāng)AA'=AB時(shí)，如圖3中，設(shè)A″C′交y軸于J．

此時(shí)AA'=AB=BC'=A'C'，

∴四邊形A'ABC'為菱形，

由對(duì)稱性可知，

∠AC'E=∠A'C'E=30°，

∴JE= JC′＝，

∴OE=OJ-JE=6

∴E（0，6）

③當(dāng)AA'=A'B時(shí)，如圖4中，設(shè)AC′交y軸于M．

此時(shí)，A'在對(duì)稱軸上∠MC'E=75°

又∠AMO=∠EMC'=30°

∴∠MEC'=75°

∴ME=MC'

∴MC'=3 ，

∴OE=3+3 ，

∴E（0，3+）.

④當(dāng)A'B=AB時(shí)，如圖5中，

此時(shí)AC'=A'C'=A'B=AB

∴四邊形AC'A'B為菱形

由對(duì)稱性可知，C'，E，B共線

由拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）可知，

令x=0，解得y=3 ；令x=0，解得：x1= ，x2=4 ；

∴A（，0），B(4，0)，OB=4，

∴OE= OB＝12，

∴E（0，12）．

綜上滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．