Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線l，點(diǎn)D（-4，n）在拋物線上．

（1）求直線CD的解析式；

（2）E為直線CD下方拋物線上的一點(diǎn)，連接EC，ED，當(dāng)△ECD的面積最大時(shí)，在直線l上取一點(diǎn)M，過(guò)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EM，BN，若EM=BN時(shí)，求EM+MN+BN的值．

（3）將拋物線y=x2+2x-3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，y′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，設(shè)P是拋物線y′上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l上，△PFQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線CD的解析式為y=-2x-3；（2）1+；（3）存在．滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EG∥y軸交直線CD于G．設(shè)E（m，m2+2m﹣3）．則G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．根據(jù)S△EDC=EG|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8，可知m=﹣2時(shí)，△DEC的面積最大，此時(shí)E（﹣2，﹣3），再證明Rt△EHM≌Rt△BON即可解決問(wèn)題；

（3）存在．如圖2中．作P1M⊥x軸于M，P1N⊥對(duì)稱(chēng)軸l于N．對(duì)稱(chēng)軸l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出點(diǎn)P在∠MKN的角平分線上，只要求出直線KP1的解析式，構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題，同法可求P3，P4．

（1）由題意得：C（0，﹣3），D（﹣4，5），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則有，解得：，∴直線CD的解析式為y=﹣2x﹣3．

（2）如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EG∥y軸交直線CD于G．設(shè)E（m，m2+2m﹣3）．則G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．

∴S△EDC=EG|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8．

∵﹣2＜0，∴m=﹣2時(shí)，△DEC的面積最大，此時(shí)E（﹣2，﹣3）．

∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，設(shè)CE交對(duì)稱(chēng)軸于H．

∵B（1，0），∴EH=OB=1．

∵EM=BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH=ON=OC=，∴EM=BN==，∴EM+MN+BN=1+．

（3）存在．如圖2中．作P1M⊥x軸于M，P1N⊥對(duì)稱(chēng)軸l于N．對(duì)稱(chēng)軸l交OA于K．

由P1Q=P1F，∠QP1F=90°，可得△P1MF≌△P1NQ，∴P1M=P1N，∴點(diǎn)P在∠MKN的角平分線上．

∵直線KP1的解析式為y=﹣x﹣1，拋物線y′的解析式為y=x2﹣4x，由，解得：或，∴P1（），P2（），同法可知，直線y=x+1與拋物線的交點(diǎn)P3，P4也符合條件．

由，解得：或，∴P3（），P4（）．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（）或（）或（）．