Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點G是這個三角形的重心，聯(lián)結(jié)CG并延長，交邊AB于點D．
（1）當BG=BC時，求證：∠CBG=2∠A；
（2）當AC=

2

BC時，求證：BG⊥CD．

Answer 1

考點：三角形的重心,勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=BD=CD，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠CDB=2∠A，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠BCD，即可得解；
（2）設(shè)BC=1，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)三角形的重心求出DG、CG，再利用勾股定理逆定理證明．

解答：（1）證明：∵點G是△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中線，
∴AD=BD=CD，
在△ACD中，∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，
在△BCD中，∠BCD=

1

2

（180°-∠CDB），
∵BG=BC，
∴∠BCD=

1

2

（180°-∠CBG），
∴∠CBG=∠CBD=2∠A，
即：∠CBG=2∠A；

（2）證明：設(shè)BC=1，則AC=

2

，
由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

2 2+12

=

3

，
∴BD=CD=

3

2

，
∵點G是△ABC的重心，
∴DG=

2

1+2

CD=

3

3

，CG=

1

1+2

CD=

3

6

，
∵BC²-CG²=1²-（

3

3

）²=

2

3

，
BD²-DG²=（

3

2

）²-（

3

6

）²=

2

3

，
∴BC²-CG²=BD²-DG²，
∴BG⊥CD．

點評：本題考查了三角形的重心，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理逆定理，三角形的重心的性質(zhì)很多教材已經(jīng)刪去，可酌情使用．