Question

如圖1,拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)過O(0,0),A(8,0),B(2, 2)三點, 弧AB與OA交于C, 弧AB所在的圓的圓心點E，點P是弧AB上一動點.

(1)求這條拋物線的解析式;

(2)若OC=OB，試問點E是否在這條拋物線上？請說明理由;

(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的位置P和x軸上的一點M，使得△APB與△AMP相似，若存在請求出點M的坐標(biāo)，若不存在說明理由.

Answer 1

解：（1）把O(0,0),代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中, 得c=0              

  把A(8,0),B(2,2),分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx中,

                                                      

解得                                                   

所以這條拋物線解析式                                  

（2）∵OC=OB，∴點C(4.0)                                       

   AC的中垂線                                                

BC的中垂線                                             

則點E的坐標(biāo)為，

當(dāng)時，

則點E在拋物線上。                                                

（3）存在，△PBA的三個角分別為15°，45°，120°              

由

ⅰ.點P是弧BC的中點，

AM₁=AB，

則△APB∽△AP M₁

AB=8·=

OM₁=8-       ∴ M₁ (8-,0)

_{ⅱ.連結(jié)EP，}

∠PEA=90°,

AP=

       ∴ M₂ (8-,0)

ⅲ.P(6，-4+)，B(2，)

∠PM₃A=45°

OM₃=6-（4-）=2+       ∴M₃(2+,0)

ⅳ.∠PM₄A=120°

OM₄=（4-）+6-=4+    ∴M₄(4+,0)

綜上，M₁ (8-,0)，M₂ (8-,0)， M₃(2+,0)，M₄(4+,0)