Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0,），線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，線段AB上有另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?如果存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的t的值;如果不存在，請(qǐng)說明理由.
（3）在y軸上有兩點(diǎn)M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

Answer 1

（1）；（2）存在，或；（3），，AM+MN+NP的最小值為.

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將A（-2,0），C（0,）代入到得方程組，求解即可得該拋物線的解析式.
（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況討論即可.
（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可.
（1）把A（-2,0），C（0,）代入到，得[
，，解得：.
∴該拋物線的解析式為：.
（2）存在.
在中，令y=0，則，∴B（2,0）.∴AB=4.
∴AP="t" ，AQ=.
在Rt△AOC中，∵AO=2，OC=，∴根據(jù)勾股定理得AC=4.
∴.
若∠APQ=90°，則，
∴，即，解得.
若∠AQP=90°，則.
∴，即，解得.
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似。
（3），，AM+MN+NP的最小值為.