Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC²=AB•BD；
（3）若PA=4，PC=4

3

，求BD的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，由PD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據(jù)一對直角相等，以及第一問的結(jié)論得到一對角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證；
（3）由切割線定理列出關(guān)系式，將PA，PC的長代入求出PB的長，由PB-PA求出AB的長，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長代入即可求出BD的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵PD為圓O的切線，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
則BC平分∠PBD；

（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

CB

=

BC

BD

，
即BC²=AB•BD；

（3）解：∵PC為圓O的切線，PAB為割線，
∴PC²=PA•PB，
∵PA=4，PC=4

3

，
∴48=4PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB-PA=12-4=8，
∴OC=4，PO=PA+AO=8，
∵△OCP∽△BDP，
∴

OC

BD

=

OP

BP

，
即

4

BD

=

8

12

，
則BD=6．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．