Question

如圖，M、N是正方形ABCD邊AB、CD上兩動點，連接MN，將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B落在AD邊上點E處、點C落在點F．
（1）求證：BE平分∠AEF；
（2）求證：C_△EDG=2AB（注：C_△EDG表示△EDG的周長）

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BM=ME，∠MEF=∠ABC=90°，根據(jù)等邊對等角可得∠MBE=∠MEB，再根據(jù)等角的余角相等求出∠AEB=∠BEF，然后根據(jù)角平分線的定義證明；
（2）過點B作BH⊥EF于H，連接BG，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AB=BH，利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△HBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=EH，再利用“HL”證明Rt△BCG和Rt△BHG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得GH=CG，然后根據(jù)三角形的周長的定義證明即可．

解答：證明：（1）∵四邊形BCNM沿MN折疊點B落在AD邊上點E處，
∴BM=ME，∠MEF=∠ABC=90°，
∴∠MBE=∠MEB，∠MEB+∠BEF=90°，
∵∠MBE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠BEF，
∴BE平分∠AEF；

（2）如圖，過點B作BH⊥EF于H，連接BG，
∵BE平分∠AEF，∠BAD=90°，
∴AB=BH，
在Rt△ABE和Rt△HBE中，

BE=BE AB=BH

，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），
∴AE=EH，
∵AB=BC，AB=BH，
∴BC=BH，
在Rt△BCG和Rt△BHG中，

BG=BG BC=BH

，
∴Rt△BCG≌Rt△BHG（HL），
∴GH=CG，
∴C_△EDG=EG+ED+DG=EH+GH+ED+DG=AE+ED+CG+DG=AD+CD=2AB，
故C_△EDG=2AB．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，角平分線的定義和角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記翻折前后的兩個圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關(guān)鍵．