Question

11．如圖，等邊三角形ABC中，E、D分別在AB、AC上，若AD=BE，且CE、BD交于點O，CF⊥BD于F．
求證：（1）△BEO∽△CEB；
（2）OF=$\frac{1}{2}$OC．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，AB=BC，∠A=∠ABC=60°，推出△ABD≌△BCE，得到∠ABD=∠BCE，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠FOC=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠FCO=30°，由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠ABC}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∵∠BEO=∠CEB，
∴△BEO∽△CEB；

（2）∵∠ABD=∠BCE，
∵∠FOC=∠OBC+∠OCB，∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°，
∴∠FOC=60°，
∵CF⊥BD，
∴∠FCO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC．

點評 本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證得△ABD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．