Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求證：DE=DF．

Answer 1

【答案】證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，作EG⊥BD于點(diǎn)G．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵AE∥BD，

∴四邊形AOGE是矩形，

∴EG=AO= AC= BD= BE，

∴∠EBD=30°，

∵∠EBD=30°，BE=BD，

∴∠BED=75°，

∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DF=DE．

【解析】連接AC，交BD于點(diǎn)O，作EG⊥BD垂足為G，先證明四邊形AOGE是矩形，從而可得到EG=BD=BE，從而可求得∠EBD=30°，接下來可求得∠BED=75°，然后再依據(jù)∠EFD=∠FDB+∠EBD求得∠EFD的度數(shù)，故∠DEF=∠DFE，最后，依據(jù)等邊對等角的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半才能正確解答此題．