Question

已知二次函數(shù)y=（a-2）x²+（a+3）x+a+2的圖象過點(diǎn)（0，5）．
（1）求a的值，并寫出二次函數(shù)的解析式；
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）將（0，5）代入y=（a-2）x²+（a+3）x+a+2即可得出a，從而得出二次函數(shù)的解析式；
（2）求得拋物線和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，由頂點(diǎn)坐標(biāo)求得△ABP面積的最大值．

解答：解：（1）將（0，5）代入y=（a-2）x²+（a+3）x+a+2得，a+2=5，
解得a=3；
故二次函數(shù)的解析式為y=x²+6x+5；
（2）令y=0，得x²+6x+5=0，
解得x₁=-1，x₂=-5，
∴A（-1，0），B（-5，0），
∴AB=4，
設(shè)點(diǎn)P（x，x²+6x+5），
∴S=

1

2

AB•|y_P|=-

1

2

×4×x²+6x+5=-2x²-12x-10，
∴S_最大=

4ac-b2

4a

=

80-144

-8

=8，
∴△ABP面積的最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時(shí)要靈活地根據(jù)已知條件選擇合適的二次函數(shù)模型．