精英家教網(wǎng)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),N(1,-2)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求b的值.
(2)若OC2=OA•OB,試求拋物線的解析式.
(3)在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△PAC的周長(zhǎng)最。咳舸嬖,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)題意可知,將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式列的方程組,解方程組即可求得b的值;
(2)根據(jù)(1)可求得僅有一個(gè)未知系數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2-2x-a,根據(jù)已知得:OC=a,OA=-x1,OB=x2,所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,列方程求得a的值,求得二次函數(shù)的解析式;
(3)首先要確定點(diǎn)P的位置,即找到點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,直線BC與函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即是所求的P點(diǎn);求得直線BC的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)將M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式,得
a-b+c=2,①
a+b+c=-2.②

②-①,得
2b=-4
∴b=-2.

(2)由(1)b=-2,a+c=0
所以拋物線的解析式可寫(xiě)為y=ax2-2x-a
則C(0,-a)
設(shè)A(x1,0),B(x2,0)
則x1,x2是方程ax2-2x-a=0的二根
從而x1x2=-1
由所給圖形可知OC=a,OA=-x1,OB=x2
∵OC2=OA•OB
∴a2=-x1x2
∴a2=1
∴a=1(a>0)
∴拋物線解析式為y=x2-2x-1.

(3)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P,使△PAC的周長(zhǎng)最。
∵AC長(zhǎng)為定值
∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小,只需PA+PC最小
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B,由幾何知識(shí)知PA+PC=PB+PC,BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為所求點(diǎn)P.
由(2)知B(
2
+1,0),C(0,-1),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(
2
+1,0),C(0,-1)的直線為y=(
2
-1)x-1,
當(dāng)x=1時(shí),y=
2
-2.
即P(1,
2
-2).
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí),要注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,還要注意根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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(2012•南通)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-4)的拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)將拋物線y=
1
2
x2+bx+c向上平移
7
2
個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi),求m的取值范圍;
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k
x
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3
2
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