【題目】(1)如圖1,四邊形ABCD為正方形,BF⊥AE,那么BF與AE相等嗎?為什么?
(2)如圖2,在Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D為BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD于點(diǎn)E,交AC于F,求AF:FC的值;
(3)如圖3,Rt△ACB中,∠ABC=90°,D為BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD于點(diǎn)E,交AC于F,若AB=3,BC=4,求CF.
【答案】(1)BF=AE,理由見詳解 (2)AF:FC=2:1 (3)CF=.
【解析】
(1)先判斷出AB=AD,再利用同角的余角相等,判斷出∠ABF=∠DAE,進(jìn)而得出△ABF△DAE,即可得出結(jié)論;
(2)構(gòu)造出正方形,同(1)的方法得出△ABD≌△CBG,進(jìn)而得出CG=AB,再判斷出△AFB∽△CFG,即可得出結(jié)論;
(3)先構(gòu)造出矩形,同(1)的方法得,∠BAD=∠CBP,進(jìn)而判斷出△ABD∽△BCP,即可求出CP,再同(2)的方法判斷出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出結(jié)論.
解:(1)BF=AE,理由:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,
∴∠BAE+∠DAE=90°;
∵AE⊥BF,
∴∠BAE+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠DAE;
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF△DAE,
∴BF=AE.
(2)如圖2:
過點(diǎn)A作AM‖BC, 過點(diǎn)C作CM‖AB,兩線相較于M,延長BF交CM于G,
∴四邊形ABCM是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,
∴平行四邊形ABCM是矩形,
∵AB=BC,
∴矩形ABCM是正方形,
∴AB=BC=CM;
同(1)的方法得,△ABD△CBG,
∴CG=BD;
又∵D為BC邊的中點(diǎn),
∴BD=BC=CM,
∴CG=CMAB;
∵AB‖CM,
∴△AFB△CFG,
∴==2.
(3)如圖3:
在Rt△ACB中,AB=3,BC=4,
∴AC=5,
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),
∴BD=BC=2;
過點(diǎn)A作AN‖BC, 過點(diǎn)C作CN∥AB,兩線相較于N,延長BF交CN于P,
∴四邊形ABCN是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,
∴平行四邊形ABCN是矩形,
同(1)的方法得,∠BAD=∠CBP,
∵∠ABD=∠BCP=90°,
∴△ABD△BCP,
∴=,
∴=,
∴CP=;
同(2)的方法得:△CFP△AFB,
∴=,
∴=,
∴CF=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠C=90°,AD⊥DB,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),DE∥BC.
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2)連接EC,若∠A=30°,DC,求EC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活,準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球(每個足球的價格相同,每個籃球的價格相同),若購買3個足球和2個籃球共需310元,購買2個足球和5個籃球共需500元。
(1)求購買一個足球、一個籃球各需多少元?
(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需從體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個,要求購買足球和籃球的總費(fèi)用不超過5720元,這所中學(xué)最多可以購買多少個籃球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.
(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)拋物線上有一點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖.D是的邊上一點(diǎn),,交于點(diǎn)M,.
(1)求證:;
(2)若,試判斷四邊形的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(2,3),過點(diǎn)A的直線與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C,且tan∠CAO=.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及對稱軸;
(2)聯(lián)結(jié)AB、BC,求∠ABC的正切值;
(3)若點(diǎn)D在x軸下方的對稱軸上,當(dāng)S△DBC=S△ADC時,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國海軍亞丁灣護(hù)航十年,中國海軍被亞丁灣上來往的各國商船譽(yù)為“值得信賴的保護(hù)傘”.如圖,在一次護(hù)航行動中,我國海軍監(jiān)測到一批可疑快艇正快速向護(hù)航的船隊(duì)靠近,為保證船隊(duì)安全,我國海軍迅速派出甲、乙兩架直升機(jī)分別從相距40海里的船隊(duì)首(點(diǎn))尾(點(diǎn))前去攔截,8分鐘后同時到達(dá)點(diǎn)將可疑快艇驅(qū)離.己知甲直升機(jī)每小時飛行180海里,航向?yàn)楸逼珫|,乙直升機(jī)的航向?yàn)楸逼?/span>,求乙直升機(jī)的飛行速度(單位:海里/小時).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=2x與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,2).
(1)求m的值;
(2)過點(diǎn)A作x軸的平行線l,直線y=2x+b與直線l交于點(diǎn)B,與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.
①若點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn)時,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________,b的值是________;
②當(dāng)BC>BD時,直接寫出b的取值范圍________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測出旗桿AB的高度,在旗桿前的平地上選擇一點(diǎn)C,測得旗桿頂部A的仰角為45°,在C、B之間選擇一點(diǎn)D(C、D、B三點(diǎn)共線),測得旗桿頂部A的仰角為75°,且CD=8m.
(1)求點(diǎn)D到CA的距離;
(2)求旗桿AB的高.
(注:結(jié)果保留根號)
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