【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,直線y=﹣x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點B,對稱軸為直線x=1.
(1)求a和b的值;
(2)點P是直線BC上方拋物線上任意一點,設(shè)點P的橫坐標為t,△PBC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)P為拋物線上的一點,連接AC,當(dāng)∠BCP=∠ACO時,求點P的坐標.
【答案】(1) a=﹣1,b=2;(2) S△PBC =﹣t2+t(0<t<3);(4)P點坐標為(4,﹣5)或(,).
【解析】
試題分析:(1)由直線解析式可求得B、C兩點坐標,結(jié)合對稱軸,可求得a、b;(2)過點P作PE∥y軸交BC于點D,交x軸于點E,作CF⊥PD于點F,可用t表示出PD的長,則可示得S與t的關(guān)系式;(3)當(dāng)點P在x軸下方時,過點A作AH⊥CP1,利用面積相等可求得AK、CK的比,再利用勾股定理可求得K點的坐標,則可求得直線CK解析式,結(jié)合P1在拋物線上可求得其坐標;當(dāng)點P在x軸上方時,過點B作BM∥y軸,交CP2延長線于點M,可證明△CBK≌△CBM,則可求得M點坐標,可求得直線CM解析式,同理可求得P2點的坐標,則可求得P點坐標.
試題解析:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點,
∴B(3,0),C(0,3),
∴9a+3b+3=0,
∵拋物線對稱軸為直線x=1,
∴=1,
∴a=﹣1,b=2;
(2)如圖1,過點P作PE∥y軸交BC于點D,交x軸于點E,作CF⊥PD于點F,
∵P(t,﹣t2+2t+3),
∴D(t,﹣t+3),
∵點P是直線BC上方,
∴PD=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴S△PBC=S△PCD+S△PBD=PDCF+PDBE=PDOB=×3(﹣t2+3t)=﹣t2+t(0<t<3);
(3)①如圖2,當(dāng)∠BCP1=∠ACO時,過點A作AH⊥CP1,
∵OA=1,OC=3,
∴AC= ,
∵∠BCP1=∠ACO,
∴∠ACH=45°,
∴AH= ,
∵S△ACK=AKOC=CKAH,
∴ ,
設(shè)K=π,CK=3m,OK=m﹣1,
在Rt△COK中,OC2+OK2=CK2
∴32+(m﹣1)2=(3m)2,解得m= ,
∴K( ,0),
∴直線CK解析式為y=﹣2x+3,
∴P1(n,﹣2n+3)
∵P1在拋物線y=﹣x2+2x+3上,
∴P1(4,﹣5);
②如圖2,∠BCP2=∠ACO時,過點B作BM∥y軸,交CP2延長線于點M,
在△CBK和△CBM中
∴△CBK≌△CBM(ASA),
∴BK=BM=,
∴M(3,),
∴直線CM的解析式為y=﹣x+3,
∴P2(m,﹣m+3)
∵P2在拋物線上,
∴P2(,),
∴P點坐標為(4,﹣5)或(,).
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【題目】一個不透明的袋子中,裝有4個紅球、2個白球和2個黃球,每個球除顏色外都相同,從中任意摸出一個球,當(dāng)摸到紅球的概率是摸到白球概率的2倍時,需再往袋子里放入________________個紅球.
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【題目】下列計算正確的是( )
A.b5b5=2b5
B.(an﹣1)3=a3n﹣1
C.a+2a2=3a3
D.(a﹣b)5(b﹣a)4=(a﹣b)9
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【題目】已知等腰三角形的兩邊長為4cm和8cm,則三角形周長是( )
A.12 cm
B.16cm
C.20cm
D.16cm或20cm
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【題目】觀察下列算式,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
12= ;12+22= ;12+22+32= ;12+22+32+42= ;…
①根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計算下面算式的值;12+22+32+42+52=;
②請用一個含n的算式表示這個規(guī)律:12+22+32…+n2=;
③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計算下面算式的值:512+522+…+992+1002= .
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【題目】如圖,在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標系,△AOB的頂點均在格點上,點O為原點,點A、B的坐標分別是A(3,2)、B(1,3).
(1)將△AOB向下平移3個單位后得到△A1O1B1,則點B1的坐標為 ;
(2)將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2OB2,請在圖中作出△A2OB2,并求出這時點A2的坐標為 ;
(3)在(2)中的旋轉(zhuǎn)過程中,線段OA掃過的圖形的面積 .
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【題目】在平面直角坐標系中,把一條拋物線先向上平移3個單位長度,然后繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y=x2+5x+6,則原拋物線的解析式是( )
A. y=﹣(x﹣)2﹣ B. y=﹣(x+)2﹣
C. y=﹣(x﹣)2﹣ D. y=﹣(x+)2+
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