Question

在半徑為R的圓桌面上擺放同樣大小的半徑為r的硬幣．要求硬幣不準露出圓桌面邊緣，并且所擺硬幣彼此不能重疊，當擺放n枚硬幣之后圓桌面上不能再多擺放一枚這種硬幣了．
求證：

n

r＜R＜(2

n

+1)r．

Answer 1

分析：n枚硬幣擺放在圓桌面上，每相鄰的兩枚硬幣之間是兩兩外切的關系，n枚硬幣的面積小于桌面的面積，可以證明

n

r＜R；根據(jù)桌面上擺放n枚硬幣后不能再多擺放一枚硬幣可以證明R＜（2

n

+1）r．

解答：證明：桌面的面積為πR²，n枚硬幣的面積為nπr²，
因為硬幣不準露出桌面，
所以nπr²＜πR²，即：

n

r＜R．
根據(jù)桌面上擺放n枚硬幣后不能再多擺放一枚硬幣，可以得出硬幣之間的空隙面積一定小于硬幣面積，
所以，硬幣之間的空隙小于nπr²，
∴πR²＜2nπr²，
∴R＜

2n

r，
∴R＜

2n

r＜（2

n

+1）r，
∴

n

r＜R＜(2

n

+1)r．

點評：本題考查的是相切兩圓的性質，硬幣擺放在桌面上，相鄰的兩枚硬幣之間是兩兩外切的關系，根據(jù)要求硬幣不準露出桌面邊緣，當擺放n枚硬幣后不能再放一枚硬幣，可以證明R與r之間的關系．