Question

3．如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過邊OB的中點C和AE中點D，已知等邊△OAB的邊長為8．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求等邊△AFE的周長．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥OA，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出CM及OM的長，代入反比例函數(shù)的解析式即可得出結(jié)論；
（2）過點D作DH⊥AF，垂足為點H，設(shè)AH=a（a＞0）．在Rt△DAH中，根據(jù)30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出AD=2AH=2a，由勾股定理得出DH的長，再根據(jù)點D在第一象限，可得出D點坐標，再由點D在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，可以把把x=8+a，y=$\sqrt{3}$a代入反比例函數(shù)解析式求出a的值，再根據(jù)點D是AE中點即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過C作CM⊥OA，
∵△OAB為邊長為8的等邊三角形，C為OB中點，
∴OC=4，∠BOA=60°，
在Rt△OCM中，CM=OC•sin60°=2$\sqrt{3}$，OM=OC•cos60°=2，
∴C（2，2$\sqrt{3}$），
代入反比例解析式得：k=4$\sqrt{3}$，
則反比例解析式為y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$；

（2）過點D作DH⊥AF，垂足為點H，設(shè)AH=a（a＞0）．
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AD=2AH=2a，
由勾股定理得：DH=$\sqrt{3}$a．
∵點D在第一象限，
∴點D的坐標為（8+a，$\sqrt{3}$a）．
∵點D在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴把x=8+a，y=$\sqrt{3}$a代入反比例函數(shù)解析式，
解得 a=2$\sqrt{5}$-4 （a=-2$\sqrt{5}$-4＜0不符題意，舍去）．
∵點D是AE中點，
∴等邊△AFE的邊長為8$\sqrt{5}$-16，
∴△AEF的周長=24$\sqrt{5}$-48．

點評 本題考查的是待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，熟知反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．