Question

8．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BO′B′，AB與弧OO′相交于點E，若AD=2，則圖中陰影部分的面積是$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)得到∠B′BE=60°，BE=BO，BB′=AB，求出S_扇形ABB′和S_△BB′E即可．

解答 解：由題意可得，BB′=BA=AD=2，
∴BO=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{2}$，
∴BO′=$\sqrt{2}$，
由旋轉(zhuǎn)有，∠B′BE=60°，BE=BO，BB′=AB
S_△BB′E=$\frac{1}{2}$BE×BB′SIN∠B′BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2×sin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
S_扇形ABB′=$\frac{60×π{×AB}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_陰影=S_扇形ABB′-S_△BB′E=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 此題是旋轉(zhuǎn)和扇形面積的簡單綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和扇形面積的計算．