Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A，B，C，已知點A的坐標為（﹣3，0），點B坐標為（1，0），點C在y軸的正半軸，且∠CAB=30°．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）若直線l：y= x+m從點C開始沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于點D、E．
①當m＞0時，在線段AC上否存在點P，使得點P，D，E構成等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
②以動直線l為對稱軸，線段AC關于直線l的對稱線段A′C′與二次函數圖象有交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連結AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC= ，即C（0， ），

設拋物線解析式為 ，

將A（﹣3，0），B（1，0）代入得 ．

解得 ．

∴

（2）

解：由題意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，

（i）如圖2，當PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸

∴∠PQD=∠EOD=90°，

∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ與△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m，

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m+ =3，

∴ ；

（ii）如圖3，當PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸，

同理可得CQ=EQ=OD= ，

∴OC=m+ = ，

∴ ；

（iii）如圖4，當DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD= ，PN=DM= ，CN=

∴AC= + + = ，

∴ ；

②當x=0，y= 時， =0+m，解得m= ；

當x=0，y=﹣ 時，﹣ =0+m，解得m=﹣ ．

故m的取值范圍為：

【解析】（1）如圖1，連結AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根據三角函數可得C（0， ），根據待定系數法可求拋物線解析式；（2）①由題意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，根據等腰直角三角形的判定與性質分三種情況：（i）如圖2，當PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸；（ii）如圖3，當PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸；（iii）如圖4，當DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；進行討論可求點P的坐標；②動直線l與直線AC的交點為C和動直線l與y軸的交點在x軸下面，并且與前面的直線平行，可求m的取值范圍．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．