Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．
（1）證明：EF=CF；
（2）當(dāng)

AE

AD

=

1

4

時(shí)，求EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質(zhì)證明△EDF≌△CDF；
（2）根據(jù)AD=4AE和已知條件可以求出AE=GC=2，設(shè)EF=x，則BF=10-CF=10-x，BE=6，在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出x，即可求出EF的長．

解答：（1）證明：過D作DG⊥BC于G，
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∠ADE=∠GDC AD=DG ∠DGC=∠DAE

，
∴△ADE≌△GDC（ASA）
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，

DE=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS）
∴EF=CF；

（2）解：∵

AE

AD

=

1

4

，
∴AD=4AE，
∵AB=AD=8，
∴AE=GC=2，
∴BC=10，BE=6，
設(shè)CF=EF=x，則BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得x=6.8，
即CF=6.8．

點(diǎn)評：本題考查了梯形、正方形、直角三角形的相關(guān)知識，解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來求解．