Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)之為“中國(guó)結(jié)”．
（1）求函數(shù)y= x+2的圖象上所有“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；
（3）若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個(gè)不同的“中國(guó)結(jié)”，試問(wèn)該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個(gè)“中國(guó)結(jié)”？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x是整數(shù)，x≠0時(shí)， x是一個(gè)無(wú)理數(shù)，

∴x≠0時(shí)， x+2不是整數(shù)，

∴x=0，y=2，

即函數(shù)y= x+2的圖象上“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)是（0，2）

（2）

解：①當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：

（1，1）、（﹣1、﹣1）；

②當(dāng)k=﹣1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：

（1，﹣1）、（﹣1，1）．

③當(dāng)k≠±1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個(gè)“中國(guó)結(jié)”：

（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），這與函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”矛盾，

綜上可得，k=1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；

k=﹣1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．

（3）

解：令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，

則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，

∴

∴k= ，

整理，可得

x1x2+2x2+1=0，

∴x2（x1+2）=﹣1，

∵x1、x2都是整數(shù)，

∴ 或

∴ 或

①當(dāng) 時(shí)，

∵ ，

∴k= ；

②當(dāng) 時(shí)，

∵ ，

∴k=k﹣1，無(wú)解；

綜上，可得

k= ，x1=﹣3，x2=1，

y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k

=[ 2﹣3× +2]x2+[2×（ ）2﹣4× +1]x+（ ）2﹣

=﹣ x2﹣ x

①當(dāng)x=﹣2時(shí)，

y=﹣ x2﹣ x

= ×（﹣2）2 ×（﹣2）+

=

②當(dāng)x=﹣1時(shí)，

y=﹣ x2﹣ x

= ×（﹣1）2 ×（﹣1）+

=1

③當(dāng)x=0時(shí)，y= ，

另外，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國(guó)結(jié)”有3個(gè)：

（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．

綜上，可得

若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個(gè)不同的“中國(guó)結(jié)”，

該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）

【解析】（1）因?yàn)閤是整數(shù)，x≠0時(shí)， x是一個(gè)無(wú)理數(shù)，所以x≠0時(shí)， x+2不是整數(shù)，所以x=0，y=2，據(jù)此求出函數(shù)y= x+2的圖象上所有“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)即可．（2）首先判斷出當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判斷出當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)y= （k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個(gè)“中國(guó)結(jié)”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根據(jù)x1、x2的值是整數(shù)，求出k的值是多少；最后根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)之為“中國(guó)結(jié)”，判斷出該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個(gè)“中國(guó)結(jié)”即可．