Question

13．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠CAB=2，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，連接AD，BE⊥AC于E，交AD于點(diǎn)G．DF⊥AD交AC于F，若DF=5，則DG=$\frac{10}{3}\sqrt{10}$．．

Answer 1

分析 由垂直得BE∥DF，得到對應(yīng)線段DG、AD間的比例關(guān)系，由于∠CAB=∠CDF∠CBE，利用∠CAB的正切是2，DF=5，計(jì)算出所需線段CF、CE、CB、AB、AD的長度．利用平行線成比例定理，計(jì)算出DG的長度．

解答 解：∵BE⊥AC，DF⊥AD，
∴BE∥DF．
由于點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，
∴DF是△CBE的中位線．
∵DF=5，
∴BE=10．
∵∠CBA=∠CFD=∠AEB=90°，∠C=∠C，
∴∠CAB=∠CDF．
∵tan∠CAB=2，
∴tan∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=2，
∵DF=5，
∴CF=EF=10，
在Rt△EAB中，∵tan∠CAB=2，
∴AE=5，
∴AF=15．
在Rt△CEB中，CB=$\sqrt{{10}^{2}+2{0}^{2}}=10\sqrt{5}$，
在Rt△CAB中，∵tan∠CAB=2，∴AB=5$\sqrt{5}$，∴AD=5$\sqrt{10}$．
∵BE∥DF，∴$\frac{DG}{AD}=\frac{EF}{AF}$
∴DG=AD×$\frac{EF}{AF}$=5$\sqrt{10}$×$\frac{10}{15}$=$\frac{10}{3}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角函數(shù)知識、勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)．綜合利用各個(gè)知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．