Question

11．如圖，直線x⊥直線y于點O，直線x⊥AB于點B，E是線段AB上一定點，D點為線段OB上的一動點（點D不與點O、B重合），CD⊥DE交直線y于點C，連接AC．
（1）當(dāng)∠OCD=60°時，求∠BED的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠CDO=∠A時，CD⊥AC嗎？請說明理由；
（3）若∠BED、∠DCO的角平分線的交點為P，當(dāng)點D在線段OB上運動時，問∠P的大小是否為定值？若是定值，求其值，并說明理由；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；
（3）利用外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，求得∠P的大小等于45°即可．

解答 解：（1）∵直線x⊥直線y于點O，
∴∠COD=90°，
∵∠OCD=60°，
∴∠CDO=30°，
∵∠CDE=90°，
∴∠EDB=60°，
∴∠BED=30°；

（2）由（1）得：∠CDO=∠BED，
∵∠CDO=∠A，
∴∠BED=∠A，
∴AC∥DE，
∵ED⊥CD，
∴AC⊥CD；

（3）如圖，連接PD并延長，
∵∠5=∠3-∠1，∠6=∠4-∠2，
∴∠5+∠6=∠3+∠4-（∠1+∠2），
又∵∠3+∠4=90°，且∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠BED+$\frac{1}{2}$∠DCO=$\frac{1}{2}$（∠BED+∠DCO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠5+∠6=90°-45°=45°，
∴∠EPC的大小是定值45°．

點評 本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理的綜合運用，輔助線的運用是解決問題的關(guān)鍵．