Question

12．若一個(gè)直角三角形三條邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，且一條直角邊與斜邊的和為25，試求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 直接利用假設(shè)出三邊長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理結(jié)合完全平方數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：設(shè)這個(gè)直角三角形兩直角邊與斜邊長(zhǎng)分別為a，b，c，依據(jù)題意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=25}\\{{c}^{2}-{a}^{2}=^{2}}\end{array}\right.$，
從而易得：25（c-a）²=b²，
∵1≤c-a＜25，且c-a必須為完全平方數(shù)，
而c-a，c+a的奇偶性相同，
于是得到：
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=25}\\{c-a=1}\\{{c}^{2}-{a}^{2}=^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=25}\\{c-a=9}\\{{c}^{2}-{a}^{2}=^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=5}\\{c=13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=15}\\{c=17}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及完全平方數(shù)的性質(zhì)，正確分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．