Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，∠ACB = 90，點D為CB延長線上一點，過A作AE⊥AD，且AE = AD，BE與AC的延長線交于點P，求證：PB = PE.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

作EM⊥AP于M，證△BCP≌△EMP，求出BC=AC=EM，證△ADC≌△EAM，推出即可；

法1：過E作EF⊥AC，垂足為F，連接BF，CE

∵ AE⊥AD，ACB = 90

∴ EAF + CAD = 90，D + CAD = 90

∴ EAF = D

又∵ AFE = ACB = 90，AE = AD

∴ △AFE ≌△DCA（AAS）

∴ EF=AC=BC

∵ BC⊥AC，EF⊥AC

∴ EF∥BC

∴ EFBC

∴ 四邊形BCEF為平行四邊形

∴ PB = PE.

法2：∵ AD = AE且AD⊥AE

∴ 可將△ADB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至△AEH，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AH = AB且AH⊥AB

∴ △BAH為等腰直角三角形，ABH = 45

又∵ △ACB中，ACB = 90，AC = BC

∴ ABC = 45

∴ ABH = ABC，則B、C、H三點共線

∴ AP垂直平分BH

∴ PH = PB

∴ PBH = PHB

又由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得EH⊥BD，即EH⊥BH

∴ PHE = 90－PHB，PEH = 90－PBH，

∴ PEH = PHB

∴ PH=PE

∴ PB=PE