【題目】如圖1,菱形ABCD中,∠A=60°,點P從A出發(fā),以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止,點Q從A與P同時出發(fā),沿邊AD勻速運動到D終止,設(shè)點P運動的時間為t(s).△APQ的面積S(cm2)與t(s)之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出.

(1)求點Q運動的速度;
(2)求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式;
(3)問:是否存在這樣的t,使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1:5的兩部分?若存在,求出這樣的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:由題意,可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形,所用時間為3s,則菱形的邊長AB=2×3=6cm.

此時如答圖1所示:

AQ邊上的高h=ABsin60°=6× = cm,

S=SAPQ= AQh= AQ× = ,解得AQ=3cm,

∴點Q的運動速度為:3÷3=1cm/s


(2)

解:由題意,可知題圖2中FG段表示點P在線段CD上運動時的情形.如答圖2所示:

點Q運動至點D所需時間為:6÷1=6s,點P運動至點C所需時間為12÷2=6s,至終點D所需時間為18÷2=9s.

因此在FG段內(nèi),點Q運動至點D停止運動,點P在線段CD上繼續(xù)運動,且時間t的取值范圍為:6≤t≤9.

過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E,則PE=PDsin60°=(18﹣2t)× = t+

S=SAPQ= ADPE= ×6×( t+ )= t+

∴FG段的函數(shù)表達式為:S= t+ (6≤t≤9)


(3)

解:菱形ABCD的面積為:6×6×sin60°=

當(dāng)點P在AB上運動時,PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分,如答圖3所示.

此時△APQ的面積S= AQAPsin60°= t2t× = t2,

根據(jù)題意,得 t2= × ,

解得t= s(舍去負值);

當(dāng)點P在BC上運動時,PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如答圖4所示.

此時,有S梯形ABPQ= S菱形ABCD,即 (2t﹣6+t)×6× = × ,

解得t= s.

∴存在t= 和t= ,使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1:5的兩部分


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象中E點所代表的實際意義求解.E點表示點P運動到與點B重合時的情形,運動時間為3s,可得AB=6cm;再由SAPQ= ,可求得AQ的長度,進而得到點Q的運動速度;(2)函數(shù)圖象中線段FG,表示點Q運動至終點D之后停止運動,而點P在線段CD上繼續(xù)運動的情形.如答圖2所示,求出S的表達式,并確定t的取值范圍;(3)當(dāng)點P在AB上運動時,PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分,如答圖3所示,求出t的值;當(dāng)點P在BC上運動時,PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如答圖4所示,求出t的值.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小;菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等腰△ABC中,∠ACB = 90,點DCB延長線上一點,過AAEAD,且AE = AD,BEAC的延長線交于點P,求證:PB = PE.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩人相約周末登花果山,甲、乙兩人距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:

(1)甲登山上升的速度是每分鐘   米,乙在A地時距地面的高度b   米;

(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,請求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)登山多長時間時,甲、乙兩人距地面的高度差為70米?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD相交于O,AD=1,BC=4,則△AOD與△BOC的面積比等于(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明與甲、乙兩人一起玩“手心手背”的游戲.他們約定:如果三人中僅有一人出“手心”或“手背”,則這個人獲勝;如果三人都出“手心”或“手背”,則不分勝負,那么在一個回合中,如果小明出“手心”,則他獲勝的概率是多少?(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是某同學(xué)對多項式(x24x+2)(x24x+6+4進行因式分解的過程.

解:設(shè)x24x=y

原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

=y2+8y+16 (第二步)

=y+42(第三步)

=x24x+42(第四步)

回答下列問題:

1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的_______

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填徹底不徹底)若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________

3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x22x)(x22x+2+1進行因式分解.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列四組線段中,不構(gòu)成比例線段的一組是( 。.
A.1cm,2cm,3cm,6cm
B.2cm,3cm,4cm,6cm
C.1cm, cm, cm, cm
D.1cm,2cm,3cm,4cm

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)系原點,A(3,0),B(3,1),C(0,1),將△OAB沿直線OB折疊,使得點A落在點D處,ODBC交于點E,則OD所在直線的解析式為(  )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商店在節(jié)日期間開展優(yōu)惠促銷活動:購買原價超過200元的商品,超過200元的部分可以享受打折優(yōu)惠.若購買商品的實際付款金額y(單位:元)與商品原價x(單位:元)的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,則超過200元的部分可以享受的優(yōu)惠是(

A.打八折
B.打七折
C.打六折
D.打五折

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案