Question

【題目】如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，點(diǎn)Q從A與P同時(shí)出發(fā)，沿邊AD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．△APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．

（1）求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；
（3）問(wèn)：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，可知題圖2中點(diǎn)E表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)的情形，所用時(shí)間為3s，則菱形的邊長(zhǎng)AB=2×3=6cm．

此時(shí)如答圖1所示：

AQ邊上的高h(yuǎn)=ABsin60°=6× = cm，

S=S△APQ= AQh= AQ× = ，解得AQ=3cm，

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：3÷3=1cm/s

（2）

解：由題意，可知題圖2中FG段表示點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形．如答圖2所示：

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D所需時(shí)間為：6÷1=6s，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C所需時(shí)間為12÷2=6s，至終點(diǎn)D所需時(shí)間為18÷2=9s．

因此在FG段內(nèi)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間t的取值范圍為：6≤t≤9．

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則PE=PDsin60°=（18﹣2t）× = t+ ．

S=S△APQ= ADPE= ×6×（ t+ ）= t+ ，

∴FG段的函數(shù)表達(dá)式為：S= t+ （6≤t≤9）

（3）

解：菱形ABCD的面積為：6×6×sin60°= ．

當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示．

此時(shí)△APQ的面積S= AQAPsin60°= t2t× = t2，

根據(jù)題意，得 t2= × ，

解得t= s（舍去負(fù)值）；

當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示．

此時(shí)，有S梯形ABPQ= S菱形ABCD，即 （2t﹣6+t）×6× = × ，

解得t= s．

∴存在t= 和t= ，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中E點(diǎn)所代表的實(shí)際意義求解．E點(diǎn)表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)的情形，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s，可得AB=6cm；再由S△APQ= ，可求得AQ的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；（2）函數(shù)圖象中線段FG，表示點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的情形．如答圖2所示，求出S的表達(dá)式，并確定t的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示，求出t的值；當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示，求出t的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減��；菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半才能正確解答此題．