【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,FAB邊上的中點(diǎn),點(diǎn)D,E分別在ACBC邊上運(yùn)動(dòng),且保持AD=CE.連接DEDF,EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,下列結(jié)論:

①△DFE是等腰直角三角形;

四邊形CDFE不可能為正方形,

③DE長(zhǎng)度的最小值為4;

四邊形CDFE的面積保持不變;

⑤△CDE面積的最大值為8

其中正確的結(jié)論是( )

A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤

【答案】B

【解析】試題分析:解此題的關(guān)鍵在于判斷△DEF是否為等腰直角三角形,作常規(guī)輔助線連接CF,由SAS定理可證△CFE△ADF全等,從而可證∠DFE=90°DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形.可證正確,錯(cuò)誤,再由割補(bǔ)法可知是正確的;

判斷,比較麻煩,因?yàn)?/span>△DEF是等腰直角三角形DE=DF,當(dāng)DFBC垂直,即DF最小時(shí),DE取最小值4,故錯(cuò)誤,△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積,由可知是正確的.故只有①④⑤正確.

解:連接CF;

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB;

∵AD=CE

∴△ADF≌△CEFSAS);

∴EF=DF,∠CFE=∠AFD

∵∠AFD+∠CFD=90°,

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°

∴△EDF是等腰直角三角形(故正確).

當(dāng)D、E分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí),四邊形CDFE是正方形(故錯(cuò)誤).

∵△ADF≌△CEF

∴SCEF=SADF∴S四邊形CEFD=SAFC,(故正確).

由于△DEF是等腰直角三角形,因此當(dāng)DE最小時(shí),DF也最小;

即當(dāng)DF⊥AC時(shí),DE最小,此時(shí)DF=BC=4

∴DE=DF=4(故錯(cuò)誤).

當(dāng)△CDE面積最大時(shí),由知,此時(shí)△DEF的面積最。

此時(shí)SCDE=S四邊形CEFD﹣SDEF=SAFC﹣SDEF=16﹣8=8(故正確).

故選:B

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